| |
a) róŜnych liczb czterocyfrowych?
b) liczb czterocyfrowych podzielnych przez 25?
a) W przeciwieństwie do poprzedniego przykładu tworzone liczby są...
Pomodliłem się do każdego boga jaki istniał bym był w wstanie wkurzyć tę kobietę do granic możliwości. |
Pierwszą cyfrę moŜemy wylosować na 9 sposobów
(bo nie moŜe być nią 0). PoniewaŜ jest to schemat losowania bez zwracania dla drugiej cyfry
mamy teŜ 9 moŜliwości (moŜe nią być kaŜda cyfra oprócz wylosowanej za pierwszym
razem), dla trzeciej 8 i dla czwartej 7. Razem jest więc 9 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 = 4536 moŜliwości.
b) Liczba dzieli się przez 25, jeŜeli jej dwie ostatnie cyfry to 00, 25, 50 lub 75.
PoniewaŜ losujemy cyfry bez zwracania pierwszy przypadek nie moŜe mieć miejsca.
JeŜeli na końcu liczby znajduje się 50, to dwie początkowe cyfry moŜemy wybrać
na 8 ⋅ 7 = 56 sposobów. JeŜeli liczba kończy się na 25 lub 75, to w obu przypadkach mamy
7 ⋅ 7 = 49 sposobów wyboru cyfr początkowych (0 nie moŜe stać na początku).
W sumie daje to 56 + 2⋅ 49 = 154 liczb.
Przykład 16.
Z wagonu metra wysiada 10 osób, w tym 3 kobiety, 2 męŜczyzn i 5 dzieci.
a) Ile jest róŜnych moŜliwości opuszczenia wagonu przez te osoby (chodzi o kolejność
wysiadania)?
b) Ile jest róŜnych sposobów opuszczenia wagonu, jeŜeli najpierw wysiadają kobiety,
następnie męŜczyźni i na końcu dzieci?
Strona 14
1
ELEMENTY MATEMATYKI DYSKRETNEJ
a) Dziesięć osób moŜe opuścić wagon na 10! = 3 628 800 sposobów (permutacje).
b) W drugim przypadku mamy trzy grupy pasaŜerów (kobiety, męŜczyźni, dzieci)
opuszczające wagon w ustalonej kolejności. Kobiety mogą opuścić wagon na 3! sposobów,
męŜczyźni na 2!, zaś dzieci na 5! Z zasady mnoŜenia liczba moŜliwych sposobów
opuszczenia wagonu wynosi w tym przypadku 3!⋅ 2!⋅ 5! = 1440 .
Przykład 17.
W urnie znajduje się 9 kul oznaczonych cyframi 1, 2, ..., 9. Losujemy bez zwracania 3 kule.
W ilu przypadkach suma cyfr umieszczonych na wylosowanych kulach jest większa niŜ 8?
PoniewaŜ operacja sumowania jest przemienna, kolejność wylosowanych kul nie jest istotna.
Do analizy problemu moŜemy wykorzystać kombinacje. W zadaniu łatwiej jest wyznaczyć
liczbę kombinacji, dla których jest spełniony warunek przeciwny (suma cyfr mniejsza lub
równa 8).
Ma to miejsce tylko w 4 przypadkach (6 = 1+2+3, 7 = 1+2+4, 8 = 1+2+5, 8 = 1+3+4).
W pozostałych przypadkach suma cyfr jest większa od 8. Zatem liczba takich przypadków
jest równa 3
C − 4 = 84 − 4 = 80 .
9
Przykład 18.
Osoby przybyłe na spotkanie przywitały się ze sobą przez podanie ręki. Ile osób przybyło
na spotkanie, jeŜeli nastąpiło 10 powitań?
Oznaczmy przez n szukaną liczbę osób. W kaŜdym przywitaniu brały udział dwie osoby,
zatem liczba wszystkich powitań była równa ilości dwuelementowych kombinacji ze zbioru
n
n-elementowego (kolejność witających się osób nie jest istotna) - .
2
Z warunków zadania dostajemy równanie
n
n!
n(n− 1)
=
=
= 10
2
2!(n− 2)!
2
czyli równanie kwadratowe n 2 − n− 20 = 0 , którego pierwiastki są równe n1 = -4, n2 = 5.
PoniewaŜ liczba przybyłych na spotkanie osób musi być większa od 0, w spotkaniu
uczestniczyło 5 osób.
Przykład 19.
Ile jest róŜnych skreśleń umoŜliwiających wygranie „czwórki” w LOTTO?
Trafienie „czwórki” w LOTTO ma miejsce przy skreśleniu 4 spośród 6 wylosowanych liczb
oraz 2 spośród 43 pozostałych. Kolejność wśród trafionych jak i nietrafionych liczb nie jest
6
istotna. Cztery spośród sześciu wylosowanych liczb moŜna wybrać na sposobów,
4
43
zaś pozostałe (nietrafione) skreślenia moŜna wykonać na sposobów. Wykorzystując
2
6 43
zasadę mnoŜenia otrzymujemy
⋅
= 13 545
moŜliwości.
- Pomodliłem się do każdego boga jaki istniał bym był w wstanie wkurzyć tę kobietę do granic możliwości.
- {aristophanes_of_byzantium_effects_desc}Zarzdzanie +1{agatharchides_of_cnidus_effects_desc}+20% do punktw ruchu (pozwala armii na forsowny marsz), +1 do Dowodzenia podczas walki przeciwko barbarzyDcom{callimachus_of_cyrene_effects_desc}Zarzdzanie +1{carneades_the_academic_effects_desc}Dowodzenie +1{quintus_lutatius_catulus_effects_desc}Dowodzenie +2{gaius_valerius_catullus_effects_desc}WpBywy +1, zwiksza szanse na wybranie na stanowisko senatorskie, 10% premii do popularno[ci w[rd Senatu{chrysippus_effects_desc}Zarzdzanie +1{ctesibius_effects_desc}+30 punktw budowania (wymagane do budowy sprztu obl|niczego), +1 do zdrowia publicznego---------------{quintus_ennius} Kwintus Enniusz{quintus_ennius_desc}Wybitny rzymski twrca poezji, komedii, satyr i epigramw
- d) zjawiska dwikowe wywoywane przez aparat gosowyAparat gosowy moe emitowa najrniejsze zjawiska dwikowe, od wielotonu harmonicznego (samogoska)...
- {JUGURTHA_TITLE}Jugurta{JUGURTHA_DESCR}Numidia przez wiele stuleci byBa krlestwem zale|nym od Kartaginy, a jej granice w przybli|eniu pokrywaBy si z granicami obecnej Algierii
- Program wygenerowany przez kreatora będzie wyglądał bardzo podobnie do programu EZWP, jednak nie będzie dysponował żadnymi opcjami umożliwiającym stosowanie...
- Znaki w Amerykańskim Języku Znaków (ASL - "American Sign Language"), w języku znaków używanych przez głuchych w Stanach Zjednoczonych do potocznych...
- Kościołowi rzymskiemu i Innocentemu IV w [postaci] piątej części dochodów
swego kleru z kościołów i beneficjów przez okres trzyletni (połowa bowiem...
- Tymczasem, jeszcze pod panowaniem tureckim, w Iraku miay miejsce powstania i walki niepodlegociowe miejscowej ludnoci, kierowane przez przywdcw plemiennych...
- Rozmyślał długo i głęboko, na zakończenie zaś tych rozmyślań wysłał przez Newmana list adresowany do pana Squeersa w gospodzie Pod Głową Saracena...
- - Jesteś przez to szczęśliwsza?- Szlag mnie trafia!- To po co pytasz?- Bo wydaje mi się, że cały należy do mnie, że muszę znać jego uczucia i fantazje...
- 43Systemy polityczne wspczesnego wiatadzisiaj kraje: Chiny (co prawda zamieszkane przez 1/5 ludnoci wiata), Wietnam, Demokratyczna Ludowa Republika...
|
|
